| Term mit Brüchen (/ als Bruchstrich) eingeben und [=] klicken. | ||
| ggf. in gemischte Schreibweise umwandeln | ||
Der Rechner beherrscht die Grundrechenarten +, -, *, / und auch ^ (="hoch", Potenzierung; nur ganzzahlige Exponenten sind erlaubt),beachtet die Prioritätsregeln (Potenz- vor Punkt- vor Strichrechnung) und erkennt Klammerung.Die Ergebnisse werden vollständig gekürzt.
Es können auch Brüche in gemischter Schreibweise eingegeben werden: Zwischen ganzzahligem Anteil und dem Zählermuß ein Unterstrich stehen. (Beispiele: "Zwei, ein Drittel": 2_1/3; "Anderthalb": 1_1/2)
Periodische und unperiodische Dezimalbrüche können eingegebenwerden, indem vor dem Periodenbeginn ein kleines p in die Zahl einfügt wird (z.B. 0,p3 für "ein Drittel").
Hinweis:
Die frühere Beschränkung des Rechners ("Erkennung" von Nennern nur bis 100000)entfällt, da die aktuelle Version nunmehr echte Bruchrechnung beherrscht. Die Brüche werden nicht durch Division in Dezimalbrüche umgewandelt, sondern als"Objekte" behandelt. Klicke hier, um zu sehen, wie der letzte Term "objektorientiert" berechnet wurde.
→ Erläuterungen zu den Grundrechenarten und zum Kürzen
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Umwandeln von periodischen Dezimalbrüchen in echte Brüche
| periodischer Dezimalbruch: | ||
| vor Periode kleines p einfügen Bsp.: 0,74p012 für 0,74012012012... | ggf. in gemischte Schreibweise umwandeln | |
So geht's:
Zerlege die Dezimalzahl in ihre Teile: Ganzzahl + unperiodischer Teil + periodischer Teil.Wandle dabei die Teile nach dem Komma folgendermaßen in Brüche um:Beim unperiodischen Teil besteht der Zähler aus der Ziffernfolge nach dem Komma; derNenner besteht aus einer 1 mit sovielen Nullen, wie der unperiodische Teil lang ist. Beim periodischen Teil schreibe die periodische Ziffernfolge in denZähler; in den Nenner kommen soviele Neunen, wie die Periode lang ist, gefolgt von sovielen Nullen, wie der unperiodische Teil lang ist.Addiere die drei Teile, kürze, falls möglich, fertig.
Bsp.: 8,04321p657
→ Details und interaktive Beispiele
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Umwandeln von echten Brüchen in (periodische) Dezimalbrüche
| Bruch (/ als Bruchstrich) eingeben: | ||
| gegebenenfalls kürzen / in gemischte Schreibweise umwandeln | ||
| Das p im Ergebnis zeigt den Beginn der Periode an. Periodenlänge: | ||
Es werden bis zuDezimalstellen angezeigt. | ||
So geht's:
Zähler durch Nenner schriftlich dividieren. Sobaldsich hinter dem Komma ein Rest wiederholt, kann man aufhören: Ab derjenigenStelle im Quotienten (="Ergebnis"), die den sich wiederholenden Rest erzeugt hatte, ist derDezimalbruch periodisch. Zum Sehen von Beispielen das Fenster zur komplettenDarstellung von schriftlichen Divisionen öffnen und Brüche eingeben.
→ Fenster zur kompletten Darstellung der schriftlichen Division öffnen
→ Berechnung der Periodenlänge
Approximation von Dezimalbrüchen durch echte Brüche
| Dezimalbruch | Obergrenze für Nenner | beste Näherung (Bruch) | Wert und Abweichung | |
| Algorithmus: | ||||
Beispiele: Approximation von Quadratwurzeln | Verlauf: | |||
Erklärung der Approximation durch Kettenbruchentwicklung: siehe unten
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Endliche Kettenbrüche
| Bruch oder Dezimalzahl eingeben (auch periodische Dezimalbrüche möglich) | |
| gegebenenfalls kürzen | |
Die ganzzahligen Summanden in den Nennern der endlichen Kettenbruchentwicklung gewinnt man,indem man mit dem Euklidischen Algorithmus den ggT aus Zähler und Nenner bestimmt:
Hieraus läßt sich ein umgekehrter Algorithmus gewinnen, um aus einem gegebenenKettenbruch schnell auf den Wert zu schließen. Man gibt Kettenbrüche in der Regelan, indem man die ganzzahligen Summanden nennt, angefangen mit der Zahl vor demKettenbruch (falls die fehlt, dann 0), z.B.: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).Der Wert des Kettenbruchs errechnet sich dann folgendermaßen. Die gegebene Folgewird von hinten abgearbeitet:
| Die 1 in der ersten Zeile kann ersetzt werden durchjede beliebige natürliche Zahl. (Der resultierende Bruch kann dann durch diese Zahlgekürzt werden.) Die Zahl nach dem Gleichheitszeichen wird jeweilsberechnet; die Werte der jeweils folgenden Zeile werden aus der vorherigen übertragen (Zur Verdeutlichung sind einige Zahlen farbig dargestellt). Es ergibt sich also, daß der Bruch 516901/740785 die Kettenbruchdarstellung (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) besitzt. Übrigens muß die letzte Zahl immer größer als eins sein, denn wäre sie eins, wäreder letzte Bruch in der Kettenbruchdarstellung ja 1/1 und daher kein wirklicher Bruch. |
| Kettenbruchdarstellung als Zahlenfolge (Zahlen trennen durch Komma oder Leerzeichen. Vor eventueller Periode ein p) |
| (siehe oben)ergibt |
| Näherungsbrüche aus Kettenbruchentwicklung |
| Aus den Folgegliedern der Kettenbruchentwicklunglassen sich sukkzessive Näherungsbrüche gewinnen. Wenn fi das i-teFolgeglied der Kettenbruchentwicklung ist, so ergibt sich der i-te Näherungsbruch zi/ni aus denRekursionsformeln Dies kann oben bei "Approximation durch Brüche" ausprobiert werden oder auch hier: Die im Textfeld "Kettenbruchdarstellung als Zahlenfolge" befindliche Kettenbruchdarstellung wird durch Klick auf den folgenden Button in eine Folge von Näherungsbrüchen umgewandelt. Dabei wird der beschriebene Algorithmusverwendet. Der erste Näherungsbruch hat den Index i=0. |
Übrigens führen die Brüche aus aufeinanderfolgenden Fibonaccizahlen {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...}stets auf Kettenbrüche der Form (1,1,1,1,...,1,1,2), wenn die größere Zahl im Zähler steht, bzw. (0,1,1,1,...,1,1,2) im umgekehrten Fall. Der Zahlenwert der Quotienten nähert sich sehr rasch dem goldenen Schnitt an; und dieser hat die außerordentlich bemerkenswerte unendliche Kettenbruchentwicklung (1,1,1,1,1,1,1,1,...). Umgekehrt bildet auch die Folge aus den Quotientenaufeinanderfolgender Fibonaccizahlen die Folge jeweils besserer Approximationen für den goldenen Schnitt, wie oben überprüft werden kann. Man gebe sukzessive eine Folgevon Einsen ein oder 1 p 1.
Periodische unendliche Kettenbrüche
Man kann jede reelle Zahl in einen Kettenbruch entwickeln. Der Kettenbruch ist genau dannendlich, wenn die Zahl rational, also durch einen Bruch darstellbar, ist; sonst ist sieunendlich, nähert sich aber durch die oben dargestellten Näherungsbrüche derreellen Zahl beliebig nahe an.Die Kettenbruchentwicklung von Quadratwurzeln natürlicher Zahlen, die selbst keineQuadratzahlen sind, ist stets periodisch. Die Periode beginntmit dem zweiten Folgeglied und hört mit einer Zahl auf, die das Doppelte des erstenFolgegliedes ist. Die Periode ist bis zur vorletzten Zahl symmetrisch.Bsp.: √= [4 p 2 1 3 1 2 8].Man kann das ebenfalls auf dieser Seite anschauen, indem man statteines Bruchs oben einen Ausdruck wie
Lösungen linearer diophantischer Gleichungen mithilfe der Kettenbruchentwicklung
Diophantische Gleichungen sind Gleichungen, deren Variablen und Koeffizientennur ganzzahlige Werte annehmen. Gleichungen der Form ax + by = c, wobei a, b und c gegebeneganze Zahlen darstellen, lassen sich mithilfe der Kettenbruchentwicklung des Bruchsa/b lösen. Der vorletzte Näherungsbruch Z/N gibt eine Lösung der Gleichungax + by = 1 an, wobei x=±N und y=±Z. (Die richtigen Vorzeichen müssen herausgefunden werden.)Im folgenden interaktiven Beispiel können die Faktoren vor x und y sowie die Zahl rechts vom Gleichheitszeichenverändert werden.
Interaktives Beispiel:x-y =
Finde zunächst eine Lösung für 13x - 11y = 1 durch Kettenbruchentwicklung von 13/11. Der vorletzte Näherungsbruch ist6/5,
Systematische Lösungsverfahren zum Auffinden aller Lösungen solcher Gleichungen sind →hier und (auch für mehr als zweiUnbekannte) →hier beschrieben.
Lösung der Pellschen Gleichung mithilfe der Kettenbruchentwicklung
Gleichungen der Form x²-dy²=±1 mit festem d∈N und den unbekannten Ganzzahlen x,y nennt man Pellsche Gleichung.Ist d ein Quadrat, so erfüllen nur x=±1 und y=0 die Gleichung (trivialer Fall).Ansonsten bestimmt man über die Kettenbruchentwicklung eine Folge von Näherungsbrüchen für √d. GewisseNäherungsbrüche geben dann mit x/y eine Lösung der Pellschen Gleichung an. Welche es sind,hängt von der Periodenlänge n der Kettenbruchentwicklung ab. Das läßt sich leicht an dem folgenden interaktivenBeispiel studieren (der Faktor vor y² kann verändert werden):
Interaktives Beispiel: x²y² = ±1.
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© Arndt Brünner
Erläuterungen zu den Grundrechenarten, zum Kürzen
und zum Umwandeln von Kommazahlen in Brüche
Ägyptische Darstellung mit Stammbrüchen
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Version: 7. 11. 2011
